.- 4. Četvrto predavanje, Stuttgart, 4. siječnja 1921.
Tri Keplerova zakona kao genijalne dedukcije. Newton, Kant, Laplace.
Metodološka razmatranja. Komete i rojevi meteorita naslanjaju se na nebularnu hipotezu.
Zakoni računanja (komutativni, asocijativni, distributivni) su postulati, a ne aksiomi stvarnosti.
Moji dragi prijatelji,
da sam imao zadatak predstaviti temu čisto prema metodama znanosti duha, prirodno bih morao krenuti od drugačijih premisa i mi bi bili u stanju brže doći do našeg cilja. Takva prezentacija ne bi, međutim, ispunila posebnu svrhu ovih predavanja. Jer cijela stvar u ovim predavanjima je da postave most preko uobičajenih metoda znanstvene misli. Doduše, izabrao sam upravo materijal koji most čini teškim za konstruirati, jer je uobičajeni način mišljenja u ovoj oblasti veoma daleko od realističnog. Ali u borbi protiv nerealnih stajališta, postati će jasno kako možemo izaći iz nezadovoljavajuće prirode modernih teorija i doći do pravog shvaćanja činjenica o kojima se radi. Danas bih, dakle, želio razmotriti način na koji su u modernim vremenima formirane ideje o nebeskim pojavama.
Moramo, međutim, razlikovati dvije stvari u formiranju tih ideja. Najprije, ideje su izvedene iz promatranja nebeskih pojava, i teoretska objašnjenja su potom povezana s promatranjima. Ponekad su veoma dalekosežne, razvučene teorije bile povezane s relativno malo opservacija. To je jedna stvar, naime, da se krenulo od opservacija iz kojih su razvijene određene ideje. Druga je da su, ideje do kojih se došlo, dalje elaborirane u hipoteze. U ovom kreiranju hipoteza, — procesu koji završava postavljanjem određene kozmologije, — prevladava mnogo proizvoljnosti, pošto se u postavljanju teorija, svaka unaprijed postavljena ideja koja postoji u umovima onih koji iznose teoriju, snažno osjeća.
Stoga ću najprije skrenuti vašu pažnju na nešto što će vas možda pogoditi kao paradoksalno, ali što će se, kada se pomno ispita, ipak pokazati plodonosno u daljnjem tijeku naših proučavanja.
U cjelokupnom načinu mišljenja moderne znanosti prevladava ono što bi mogli nazvati, i zaista je nazvano 'Regulae philosophandi'. Sastoji se u izreci: Ono što je praćeno do konkretnog uzroka u jednoj oblasti stvarnosti, treba pratiti do istih uzroka u drugim oblastima. U postavljanju ovakve ‘regulae philosophandi’ polazna točka je u pravilu naizgled očita. Reći će se — znanstvenici newtonovske škole će zasigurno reći — da disanje mora imati iste uzroke u čovjeku kao i u životinji, ili opet, da paljenje komada drva mora imati isti uzrok bez obzira je li u Europi ili u Americi. Sve do ove točke stvar je dovoljno očita. Ali potom je napravljen skok koji prolazi nezamijećeno, — prešutno je uzet zdravo za gotovo. Oni koji su navikli na ovaj način misliti reći će, na primjer, da ako svijeća i Sunce oboje bacaju svjetlo tada isti uzroci moraju biti u pozadini svjetla svijeće i svjetla Sunca. Ili opet, ako kamen pada na Zemlju i Mjesec kruži oko Zemlje, isti uzroci moraju biti u pozadini kretanja kamena i kretanja Mjeseca. Na ovakvo objašnjenje oni dodaju daljnju misao da ako to ne bi bilo tako, ne bi uopće imali objašnjenje u astronomiji. Objašnjenja su temeljena na zemaljskim stvarima. Ako na nebesima ne bi bila ista kauzalnost kao na Zemlji, uopće ne bi mogli doći do bilo kakve teorije.
Ipak kada bolje razmislite, ova ‘regulae philosophandi’ nije ništa drugo nego unaprijed zamišljena ideja. Tko će na svijetu garantirati da je uzrok sijanja svijeće i sijanja Sunca jedan te isti? Ili da u padanju kamena, ili čuvene jabuke sa stabla s kojom je Newton došao do svoje teorije, u pozadini postoji isti uzrok kao i u kretanju nebeskih tijela? To bi najprije trebalo utvrditi. Ovako, to je samo unaprijed zamišljena ideja. Ovakve predrasude ulaze, kada, najprije izvevši teoretsko objašnjenje i misaone slike izazvane promotrenom pojavom, ljudi strmoglavo žure u deduktivno razmišljanje i deduktivnim metodama konstruiraju svjetske sustave.
Međutim, ono što ja sada opisujem tako apstraktno, postalo je povijesna činjenica. Postoji kontinuirana linija razvoja od onog što su veliki mislioci na početku modernog doba — Kopernik, Kepler, Galileo — zaključili iz relativno malo opservacija. O Kepleru — pogotovo o njegovom trećem zakonu, citiranom jučer — treba reći da je njegova analiza činjenica koje su mu bile dostupne djelo genija.
To je bio veliki intenzitet duhovne snage koju je Kepler upotrijebio kada je, iz onog malo što leži pred njime, otkrio ovaj 'zakon' kako ga zovemo, ili još bolje, ovu 'konceptualnu sintezu' pojava univerzuma. Međutim, zatim je preko Newtona postavljen razvoj koji nije izveden iz opservacije već iz teoretskih konstrukcija, uključujući koncepte sile i mase i slično, koje jednostavno moramo izostaviti ako ćemo se držati onog što je dano. Razvoj u tom smjeru doseže točku kulminacije — zamišljenu, doduše, s genijem i originalnošću — kod Laplacea, gdje vodi do općenitog objašnjenja cijelog kozmičkog sustava (kao što ćete se uvjeriti ako pročitate njegovu čuvenu knjigu „Exposition du Systeme du Monde“), ili opet kod Kanta, u njegovoj „Prirodna povijest i teorija nebesa“. U svemu što je slijedilo ovaj trend vidimo konstantni napor da se do zaključka dođe na osnovu misaonih slika koje su ovako zamišljene o povezanosti nebeskih kretanja, i rezultiravši takvim objašnjenjima o porijeklu univerzuma kao što je teorija maglica i tako dalje.
Treba napomenuti da u povijesnom razvoju ovih teorija imamo nešto što je sastavljeno iz indukcija napravljenih, opet, bez imalo genija u ovoj domeni — i iz niza zaključaka u kojima su bile uključene posebne sklonosti njihovih autora. Utoliko što je mislilac prožet materijalizmom za njega je sasvim prirodno da miješa materijalističke ideje s deduktivnim konceptima. Tako nisu više to činjenice one koje su govorile, je se kreće na osnovi teorija koje su se pojavile iz dedukcija. Dakle, na primjer, induktivno ljudi su najprije došli do mentalnih slika koje su saželi u pojam središnjeg tijela, Sunca, s planetima koji se oko njega okreću po elipsama u skladu s određenim zakonom, naime: radijus-vektori opisuju jednaka područja u jednakim periodima vremena. Promatrajući različite planete solarnog sustava, na osnovu toga je moguće rezimirati njihove međusobne odnose u Keplerovom trećem zakonu: ‘Za različite planete kvadrati perioda revolucije su proporcionalni kubovima radijus-vektora’. Ovdje je bila izvjesna slika. Pitanje, međutim, nije bilo riješeno, da li se ta slika potpuno ukapa u stvarnost. Ona je uistinu bila apstrakcija od stvarnosti; u kojoj je mjeri povezana s punom stvarnošću, nije bilo utvrđeno. Iz ove slike — ne iz stvarnosti, već iz ove slike — ljudi su zaključili ono što je postalo cijeli općeniti sustav astronomije. Sve ovo treba imati na umu. Moderan čovjek je od djetinjstva podučavan kao da su teorije do kojih se u zadnjih par stoljeća došlo deduktivnim rezoniranjem bile stvarne činjenice. Stoga ćemo, dok krećemo od onoga što je istinski znanstveno, što je moguće više zanemariti sve što je samo teoretsko i povezati se samo s onim idejama koje polaze od stvarnosti u toj mjeri da još uvijek u njima možemo otkriti vezu s onim što je stvarno. Moj će zadatak biti, u svemu što danas dajem, da slijedim smjer moderne znanstvene misli samo do onih ideja i koncepata koji još dopuštaju da se pronađe put natrag u stvarnost. Neću se udaljiti od stvarnosti toliko da koncepti postanu dovoljno kruti da dopuste dedukciju hipoteza o nebulama.
Nastavljajući na ovaj način, — slijedeći modernu metodu formiranja koncepata na ovom konkretnom polju, — moramo prvo formirati koncept koji se induktivno predstavlja Kepleru i onda je bio razvijen dalje. Odmah ponavljam, u ovim konceptima ću ići toliko daleko da čak iako slika u obliku u kojem je shvaćena bude pogrešna, da se tek toliko udaljila od stvarnosti da će biti moguće eliminirati grešku i vratiti se onom što je istinito. Trebamo razviti određeni njuh za stvarnost u konceptima koje uvodimo. Ne možemo nastaviti nikako drugačije ako želimo napraviti most preko od stvarnosti do razvučenih teorija moderne učenosti i znanosti.
Ovdje je dakle, za početak, koncept kojeg moramo ispitati. Planeti imaju ekscentrične orbite, — oni opisuju elipse. To je nešto s čime možemo početi. Planeti imaju ekscentrične orbite i opisuju elipse, u čijem jednom žarištu je Sunce. Oni opisuju elipse u skladu s zakonom da radijus-vektor opisuje jednaka područja u jednakim periodima vremena.
Drugo bitno za nas za držati se, ideja je da svaki planet ima svoju orbitalnu ravninu. Premda planeti vrše njihove revolucije u susjedstvu jedan s drugim, takoreći, ipak za svaki planet postoji posebna ravnina njegove orbite, više ili manje nagnuta na ravninu sunčeva ekvatora: Ako ovo opisuje ravninu sunčeva ekvatora (Slika1), orbitalna ravnina planeta bila bi ovako; ne bi se uopće podudarala s ravninom sunčeva ekvatora.
Slika 1
To su dvije veoma značajne mentalne slike, koje će se formirati iz promotrenih činjenica. A ipak, u samom njihovom formiranju moramo primijetiti nešto u stvarnoj slici svijeta, što se takoreći, buni protiv njih. Na primjer, ako naš solarni sustav pokušamo shvatiti u njegovoj ukupnosti, i to samo temeljimo na slici planeta koji se kreću po ekscentričnim orbitama, s orbitalnim ravninama nagnutim pod raznim stupnjevima na ravninu solarnog ekvatora, imati ćemo poteškoća ako također uzmemo u obzir i kretanja kometa. U trenutku kada usmjerimo pažnju na kretanja kometa, slika više nije dostatna. Rezultat će biti bolje shvaćen iz povijesnih činjenica nego iz bilo kakvih teoretskih objašnjenja.
Na ove dvije misaone slike, — da orbitalne ravnine planeta leže u blizini ravnine sunčeva ekvatora, i da su orbite ekscentrične elipse, — Kant, Laplace i njihovi nasljednici izgradili su hipotezu o maglici. Pratite što iz toga proizlazi. U slučaju krajnje nužde, i zaista samo u krajnjoj nuždi, to je način zamišljanja porijekla solarnog sustava. Ali tako konstruirani astronomski sustav ne sadrži zadovoljavajuće objašnjenje o ulozi koju su odigrala tijela kometa. Ona uvijek ispadnu iz teorije. Ovakva disonanca kometa s teorijama koje su formirane, kako je opisano, tijekom znanstvene povijesti, dokazuje da se život kometa nekako buni protiv formiranog koncepta, ne iz cjeline već samo iz dijela cjeline. Mora nam također biti jasno, da se putanje kometa često podudaraju s onima od drugih nebeskih tijela koja također igraju ulogu u našem sustavu i predstavljaju zagonetku upravo kroz njihovo udruživanje s kometima. To su rojevi meteora, čije putanje se veoma često — možda čak i uvijek — podudaraju s putanjama kometa. Ovdje smo, moji dragi prijatelji, uzimajući u obzir ukupnost našeg sustava, dovedeni do toga da kažemo: Iz proučavanja našeg planetarnog sustava kao cjeline pojavilo se more ideja, — ideja s kojima ne možemo opravdati naizgled nepravilne i gotovo proizvoljne putanje kometa i rojeva meteora. One jednostavno odbijaju da se uključe u više apstraktne slike do kojih se došlo. Trebao bih vam dati duge povijesne opise da bi detaljno pokazao kolike poteškoće se javljaju u vezi s konkretnim činjenicama, kada su istražitelji — ili radije, mislioci — pristupili kometima i rojevima meteora s njihovim astronomskim teorijama.
Želim samo ukazati na smjerove u kojima treba tražiti zdravo razumijevanje. Do takvog ćemo razumijevanja doći ako obratimo pažnju na još jedan aspekt.
Krenuvši na ovaj način od koncepata koji u sebi još imaju ostatak stvarnosti, sada ćemo se malo pokušati vratiti prema onom što je stvarno. To je zaista uvijek nužno napraviti u odnosu na vanjski svijet, da naši koncepti ne bi previše odlutali od stvarnosti, — jer to je jaka sklonost ljudi. Moramo se uvijek vraćati do stvarnosti.
Već postoji ne mala opasnost u formiranju takvog koncepta da se planeti kreću po elipsama, i zatim odmah na tom konceptu početi graditi teoriju. Daleko je bolje, nakon formiranja takvog koncepta, vratiti se natrag do stvarnosti vidjeti da li koncept treba ispravak, ili barem izmjenu. To je važno. To se jasno vidi u astronomskom mišljenju. Također u biološkoj i posebno medicinskoj misli, isti nedostatak vodio je ljude daleko pogrešnim putem. Oni ne uzimaju u obzir, koliko je nužno odmah čim se formira koncept, ići natrag do stvarnosti da bi se uvjerili ima li razloga da ga se modificira.
Planeti se, dakle, kreću po elipsama. Ali te elipse variraju; ponekad su više kružne, ponekad više eliptične. To nalazimo ako se s idejom elipse vratimo do stvarnosti. Tijekom vremena elipsa postaje ispupčenija, više kao kružnica, a zatim opet više kao elipsa. Dakle ja nikako ne uključujem cijelu stvarnost ako samo kažem, 'planeti se gibaju po elipsama'. Moramo modificirati koncept i reći: Planeti se kreću po putanjama koje se stalno bore protiv toga da postanu kružnice ili da ostanu jedna te ista elipsa. Ako bi sada nacrtao eliptičnu liniju, da bi bio u skladu sa stvarnošću morao bi je napraviti od kaučuka, ili učiniti je na neki način fleksibilnom, stalno je mijenjati iznutra. Jer ako sam formirao elipsu koja je tamo u jednoj revoluciji planeta, to neće biti dobro za slijedeću revoluciju, a još manje za još jednu sljedeću. Nije točno da kada pređem od stvarnosti do rigidnog koncepta da još ostajem unutar stvarnog. To je jedna stvar.
Druga je: Rekli smo da su ravnine planetarnih orbita nagnute prema ravnini sunčeva ekvatora. Gdje planeti prijelaze točku sjecišta njihovih orbita (s ekliptikom) u smjeru prema gore ili prema dolje, rečeno je da se formiraju čvorovi. Linije, koje spajaju dva čvora (K-K1 na slici 1), su promjenjive. Tako su i nagibi ravnina jedne prema drugoj, tako da nas čak i ti nagibi, ako ih pokušamo izraziti u jednom konceptu, dovode do rigidnog koncepta kojeg odmah moramo mijenjati pred licem stvarnosti. Jer ako je u jednom trenutku orbita nagnuta na jedan način, a u drugom trenutku na drugi, koncept koji izvedemo iz prvog slučaja kasnije se mora mijenjati. Zasigurno, jednom kada je točka dosegnuta, možemo jednostavno povući liniju i reći da postoje 'poremećaji' i da je s našim konceptima stvarnost dohvaćena samo 'približno'. Zatim možemo ugodno zaplivati u daljnjim teorijama. Ali na kraju zaplivamo toliko da nestvarne i teoretske slike koje konstruiramo više ne odgovaraju stvarnosti, premda bi to trebale.
Lako se složiti da ova promjenjivost ekscentričnih orbita, i uzajamni nagib ravnina orbita, mora na neki način biti povezana s životom cijelog planetarnog sustava, ili reći ćemo, s njegovom stalnom aktivnošću. Na neki način mora biti povezana s živom aktivnošću cijelog planetarnog sustava. To je sasvim očigledno. Krenuvši od ovoga može se opet pokušati formirati koncept, govoreći: Sada dobro, u moje misli ću donijeti takvu pokretljivost da ću oslikati elipse kako se stalno ispupčuju i skupljaju, ravnine orbita se penju, spuštaju i rotiraju, i tada ću iz te početne točke izgraditi sustav svijeta u skladu sa stvarnošću. Dobro. Ali ako ideju promislite do kraja, onda upravo kao ishod takvog logičkog razmišljanja, rezultat je planetarni sustav koji nikako ne može nastaviti postojati. Preko gomilanja poremećaja koji se posebno javljaju kroz promjenjivost čvorova, planetarni sustav bi se kretao prema vlastitoj konačnoj smrti i rigidnosti. Tu dolazi ono što su filozofi uvijek iznova isticali. Dok ovakav sustav može biti promišljen, u stvarnosti bi imao obilje vremena da dođe do konačnog finala. Nema razloga zašto ne bi. Beskonačna vjerojatnost bi bila ispunjena; rigidnost bi davno nastupila.
Ovdje ulazimo u oblast gdje misao očigledno dolazi do zastoja. Upravo slijedeći moje mišljenje do samog kraja, stižem do sustava svijeta koji je miran i rigidan. Međutim to nije stvarnost.
Sada, međutim, dolazimo do nečeg drugog, na što posebno moramo obratiti pažnju. Slijedeći ove stvari dalje — teoriju toga možete naći u radu Laplace-a; samo kazujem pojavu — nalazi se da je razlog zašto sustav nije stvarno dosegnuo rigidnost pod utjecajem poremećaja — promjenjivosti čvorova, itd., — taj što omjeri perioda revolucije planeta nisu proporcionalni. Oni su neproporcionalni, brojevi s beskonačnim brojem decimalnih mjesta. Tako možemo reći: ako usporedimo periode revolucije planeta u smislu trećeg Keplerovog zakona, omjeri tih perioda ne mogu se dati u cijelim brojevima, niti u konačnim razlomcima, već samo u neproporcionalnim brojevima. Moderna astronomija je tu jasna. Neproporcionalnosti omjera između perioda revolucije pojedinačnih planeta (u trećem Keplerovu zakonu) planetarni sustav duguje svoje nastavljanje mobilnosti. Inače, odavno je moralo doći do zastoja.
Sada vidite, što se dogodilo. U konačnici, mi naše misli o planetarnom sustavu moramo temeljiti na brojevima koji na kraju izmiču našem razumijevanju. To nije od male važnosti.
Stoga smo vođeni, samim potrebama znanstvenog razvoja, o planetarnom sustavu misliti matematički na takav način da matematički rezultati nisu više djeljivi bez ostatka. Mi smo na mjestu, gdje u samim matematičkim procesima dolazimo do brojeva koji nisu djeljivi bez ostatka. Moramo pustiti da broj stoji, — dolazimo do zastoja. Bez sumnje ga možemo napisati s decimalama, ali samo do određenog mjesta. Negdje moramo prekinuti kada dođemo do neproporcionalnog. Matematičarima među vama će ovo biti jasno. Vidjeti ćete da noseći se s brojem koji nije djeljiv bez ostatka dolazim do točke gdje moram reći: do tu kalkuliram i dalje ne mogu. Mogu samo reći (oprostite što koristim nekako zabavnu usporedbu u ozbiljnoj temi) da me ovaj dolazak do neizbježnog zastoja u matematici podsjeća na scenu u kojoj sam jednom bio učesnik u Berlinu. Moda varijetea došla je preko određenih osoba, od kojih je jedna Peter Hill. On je osnovao vrstu kabareta i tamo je želio čitati vlastite pjesme. Bio je simpatična osoba, u srcu i duši teozof, više se predstavljao u češkim krugovima. Otišao sam na predstavu u kojoj je čitao vlastite pjesme. Pojedine linije pjesme su bile gotove, i tako on čita glasno:
Sunce je izašlo. ... itd. (Prva linija.)
Mjesec se dizao. ... itd. (Ovo je bila druga linija.)
U svakoj liniji je rekao ‘itd.’. To je bilo čitanje kojem sam jednom prisustvovao. Zapravo je bilo veoma stimulirajuće. Svatko je liniju mogao završiti kako želi! Doduše s brojevima koji nisu djeljivi bez ostatka to ne možete, ipak i ovdje također možete samo naznačiti daljnji proces. Možete reći da se proces nastavlja u određenom smjeru, ali nije dano ništa s čime bi dobili ideju koji brojevi možda dolaze. Važno je da smo upravo na polju astronomije vođeni do neproporcionalnosti. Od astronomije smo gurnuti do samih granica matematiziranja; ovdje nam stvarnost izmiče. Stvarnost nam izmiče, ne možemo reći ništa drugo; stvarnost izmiče našem razumijevanju.
Što to znači? To znači da primjenjujemo najsigurniju od naših znanosti, matematiku, na nebeske pojave, i u konačnici se nebeske pojave ne podčinjavaju; dolazi trenutak kada nam one izmiču. Upravo kada bi trebali doći do samog njihovog života, one iskliznu u neproporcionalnu oblast. Ovdje također, naše shvaćanje stvarnosti dolazi do kraja i prelazi u kaos.
Ne možemo reći bez dodatnih poteškoća, što ova stvarnost, koju pokušavamo slijediti matematički, zapravo radi kada izmiče u neproporcionalno. Bez sumnje je to povezano s njenom moći nastavljanja života. Da bi ušli u punu astronomsku stvarnost moramo napustiti ono čime možemo ovladati matematički. Kalkulacija jasno to pokazuje; sama povijest znanosti to pokazuje.
To je smisao prema kojem moramo raditi, ako ćemo nastaviti u realističkom duhu. Sada bih pred vas želi postaviti drugi pol stvari. Ako ga slijedite fiziološki možete početi od točke koje želite u razvoju embrija, bilo to od razvoja ljudskog embrija u trećem ili drugom mjesecu, — ili embrija nekog drugog stvorenja. Razvoj možete slijediti unatrag onoliko daleko koliko to uvijek možete sredstvima moderne znanosti. (to je u stvari moguće samo u ograničenoj mjeri, kao što oni od vas koji su to proučavali znaju) Možete pratiti natrag do određene točke, od koje ne možete više daleko, naime do odvajanja jajašca — oplođenog jajašca. Predstavite sebi koliko daleko možete ići natrag. Ako bi željeli ići dalje natrag ulazili bi u neodređenu oblast cijelog materinskog organizma. To znači da vraćajući se natrag dolazite u vrstu kaosa. To ne možete izbjeći, i činjenica da se to ne može izbjeći pokazana je odvijanjem znanstvenog razvoja. Promislite o takvoj znanstvenoj hipotezi kao što je teorija „panspermije“ na primjer, gdje su špekulirali da li je pojedina stanica zametka bila pripremljena iz snaga cijelog organizma, što je više gledište Darwina, ili se razvila na više izdvojen način u čisto seksualnim organima. Kada proučavate tijek znanstvenog razvoja na ovom polju vidjeti ćete da nije malo fantazije izneseno u pokušaju objašnjavanja temeljne geneze, kada se unatrag prati pojavljivanje stanice zametka iz materinskog organizma. Dolazite u potpuno neodređenu oblast. U današnjoj vanjskoj znanosti ima malo čega osim špekulacija o vezi između stanice zametka i materinskog organizma.
Zatim se u određenoj točci u njegovom razvoju ovaj zametak pojavljuje na veoma konkretan način, u formi koju se može shvatiti barem približno matematičkim ili u svakom slučaju geometrijskim sredstvima. Od određene točke nadalje mogu se raditi dijagrami. U embriologiji postoje mnogi takvi dijagrami. Razvoj stanice zametka i druge stanice može se nacrtati više-manje egzaktno. Tako se razvoj počinje oslikavati na geometrijski način, predstavljajući ga u obliku sličnom čisto geometrijskim likovima. Ovdje slijedimo stvarnost koja je na neki način obrnuta od onog što imamo u astronomiji. Ovdje smo s našim spoznajnim procesom slijedili stvarnost i došli do brojeva koji nisu djeljivi bez ostatka; cijela stvar klizi u kaos preko samog procesa spoznaje. U embriologiji iskliznemo iz kaosa. Od izvjesnog trenutka ono što se javlja iz kaosa možemo shvatiti kroz forme koje su poput čisto geometrijskih oblika. Tako u suštini, upotrebljavajući matematiku u astronomiji u jednoj točci dolazimo u kaos. I pukom opservacijom u embriologiji u izvjesnoj točci pred sobom nemamo ništa osim kaosa; na početku sve izgleda kaotično, opservacija nije moguća. Zatim izlazimo iz kaosa u oblast geometrije. Stoga je ideal određenih biologa — veoma opravdan ideal — ono što se predstavlja u embriologiji shvatiti u geometrijskoj formi; ne samo naturalistički praviti ilustracije rasta embrija, već konstruirati forme u skladu s nekim inherentnim zakonom, sličnom zakonima koji su u pozadini geometrijskih likova. To je opravdan ideal.
Sada dakle možemo reći: Kada u embriologiji promatranjem pokušamo slijediti stvarni proces, izlazimo iz sfere koja leži otprilike blizu našeg razumijevanja kao i ona koja je izvan brojeva koji nisu djeljivi bez ostatka. U astronomiji s jedne strane, s našim shvaćanjem nastavljamo do točke gdje više ne možemo slijediti matematički. S druge strane u embriologiji naše shvaćanje počinje u određenoj točci, gdje najprije možemo prionuti poslu s nečim što nalikuje na geometriju.
Promislite misao do njenog zaključka. To možete, pošto je to čisto 'metodološka' misao, odnosno stvarnost toga je u našem vlastitom unutarnjem životu.
Ako u aritmetici dolazimo do brojeva koji nisu djeljivi bez ostatka — to jest, dolazimo do točke gdje stvarnost više nije predstavljena brojem koji se može pokazati u njegovom potpunom obliku — tada bi se također trebali počinjati pitati da li bi se ista stvar dogodila s geometrijskim oblikom kao i s aritmetičkom analizom. (Više ćemo o ovome na slijedećem predavanju.) Analitički proces vodi do broja koji nije djeljiv bez ostatka. Sada upitajmo: Kako geometrijske forme predstavljaju nebeska kretanja? Da nas te slike možda ne vode do određene točke. Slično onom kako nas vodi aritmetička analiza kada dođemo do broja koji nije djeljiv bez ostatka? Zar u našem proučavanju nebeskih tijela — naime planeta — ne dolazimo do granice, na kojoj moramo priznati da više ne možemo koristiti geometrijske forme kao sredstvo ilustracije; činjenice više ne mogu biti shvaćene geometrijskim formama? Baš kao što moramo napustiti oblast brojeva koji nisu djeljivi bez ostatka, lako može biti da moramo napustiti oblast gdje stvarnost još može biti odjevena u geometrijske (ili opet aritmetičke, algebarske, analitičke) forme, kao u crtežima spirala i drugih likova izvedenih iz geometrije. Dakle, i u geometriji bi također, trebali stići do oblasti brojeva koji nisu djeljivi bez ostatka. U ovom smislu je zaista izvanredno da u embriologiji, iako aritmetička analiza još nije mnogo od koristi, geometrija čini da se njeno prisustvo snažno osjeća u trenutku kada se uhvatimo embrioloških pojava dok se pojavljuju iz kaosa. Ovdje imamo posla, ne zaista s brojem koji nije djeljiv bez ostatka već s nečim što teži da prijeđe od oblika ne djeljivog bez ostatka do oblika djeljivog bez ostatka.
Tako smo nastojali shvatiti stvarnost na dva pola: S jedne strane gdje proces spoznaje vodi kroz analizu u neproporcionalnost, i s druge strane gdje promatranje vodi van iz kaosa do shvaćanja realnosti u sve više proporcionalnim oblicima. Esencijalno je da ove stvari postavimo pred naše umove s punom jasnoćom, ako ćemo dodati stvarnost onome što nam je predstavljeno od današnje vanjske znanosti. Taj cilj ne možemo postići nikako drugačije.
Sada bih želio dodati metodičko razmišljanje, pomoću kojeg sutra možemo naći put u realističnije probleme.
U svemu što smo do sada govorili, uzimali smo zdravo za gotovo da smo kozmičkim pojavama pristupali sa stajališta matematike. Izgledalo je da u jednom trenutku matematičar dolazi do granice — granice s kojom se također susreće u čisto formalnoj matematici. Sada, postoji nešto u pozadini našeg cjelokupnog načina mišljenja u ovoj oblasti, što možda prolazi neopaženo jer uvijek nosi masku 'očiglednog' i stoga se nikad stvarno ne suočimo s problemom. Mislim na pitanje primjene matematike na stvarnost. Kako mi postupamo? Razvijamo matematiku kao formalnu znanost i izgleda nam potpuno uvjerljiva u njenim zaključcima; potom to primjenjujemo na stvarnost, bez da mislimo o činjenici da to zaista radimo na osnovu određenih hipoteza. Danas međutim, već je stvoreno dovoljno osnova da vidimo da je matematika primjenjiva samo na vanjsku stvarnost na osnovu izvjesnih pretpostavki. To postaje jasno kada s matematikom pokušamo nastaviti izvan izvjesnih granica. Najprije, razvijeni su određeni zakoni — zakoni koji nisu dobiveni iz vanjskih činjenica, kao što su na primjer Keplerovi zakoni, već iz samog matematičkog procesa. Oni su u stvari induktivni zakoni, razvijeni unutar matematike. Zatim su upotrijebljeni deduktivno; na njima su izgrađene visoko razrađene matematičke teorije.
S takvim zakonima se susreće svatko tko studira matematiku. Na nedavno održanim predavanjima u Dornachu od našeg prijatelja Dr. Blumela, dane su značajne naznake o ovoj liniji matematičkog istraživanja. Jedan od zakona o kojima se radi nazvan je Zakon komutacije (zamjene op.pr.). Može se izraziti govoreći: Očito je da je a + b jednako b + a, ili a x b jednako b x a . To je očigledna činjenica dok god se ostaje unutar oblasti realnih brojeva: Ali to je samo induktivni zakon izveden iz upotrebe implicitnih postulata u aritmetici realnih brojeva.
Drugi zakon je Zakon udruživanja. On je izražen kao (a + b) + c = a + (b + c). Opet je to zakon, jednostavno izveden radeći s implicitnim postulatima u aritmetici realnih brojeva.
Treći je takozvani Zakon distribucije, izražen u obliku: a (b + c) = ab + ac. Još jednom, to je zakon dobiven induktivno radeći s implicitnim postulatima u aritmetici realnih brojeva.
Četvrti zakon može se izraziti ovako: 'Umnožak može biti jednak nuli samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli'. Ovaj zakon je opet induktivan, izveden radeći s implicitnim postulatima u aritmetici realnih brojeva.
Imamo dakle, ova četiri zakona; zakon komutacije, zakon udruživanja, zakon distribucije, i ovaj zakon o umnošku koji je jednak nuli. Ti zakoni su u pozadini današnje formalne matematike, i koriste se kao osnova za daljnji rad. Rezultati su veoma zanimljivi, to nije upitno. Ali stvar je u ovome: ovi zakoni vrijede dok god ostajemo u sferi realnih brojeva i njihovih postulata. Ali nikad se nije postavilo pitanje, u kojoj su mjeri stvarne činjenice u skladu s njima. Unutar našeg uobičajenog način doživljavanja to je točno, bez sumnje je a + b = b + a, ali da li to također vrijedi i za vanjsku stvarnost? Nema dokučivog razloga zašto bi trebalo. Jednog dana bi mogli biti zaprepašteni kada nađemo da nije vrijedilo ako smo na neki realni proces primijenili ideju da je a + b jednako b + a. Ali za to postoji još jedna strana. Mi unutar nas imamo jaku sklonost da se držimo tih zakona; s njima, dakle. Mi pristupamo stvarnosti i sve što se ne uklapa izmiče našem promatranju. To je druga strana.
Drugim riječima: Najprije postavljamo postulate koje zatim primijenimo na stvarnost i uzmemo ih kao aksiome same stvarnosti. Trebamo samo reći: razmotriti ću određenu sferu stvarnosti i vidjeti koliko daleko stižem s izrazom a + b = b + a. Više od toga, nemam prava reći. Jer pristupajući stvarnosti s ovim izrazom susrećemo se s onim što mu odgovara, i guramo sa strane sve što ne. Tu naviku također imamo i na drugim poljima. Mi na primjer kažemo, u elementarnoj fizici: tijela su podložna zakonu inercije. 'Inerciju' definiramo kao da se sastoji od činjenice da tijela ne napuštaju njihov položaj ili mijenjaju stanje kretanja bez određene pogonske sile. Ali to nije aksiom; to je postulat. Trebao bih samo reći: Tijelo koje ne mijenja vlastito stanje kretanja zvati ću 'inertnim', i sada ću u stvarnom svijetu potražiti štogod da odgovara ovom postulatu.
U tome što formiram određene koncepte, ja dakle samo formiram linije vodilje za prodiranje u stvarnost, i u mom umu moram držati put otvoren za prodiranje drugih činjenica s drugim konceptima. Stoga četiri osnovna zakona brojeva gledam na pravi način ako ih gledam kao nešto što mi daje određeni smjer, nešto što mi pomaže regulirati moj pristup stvarnosti. Biti ću u krivu ako matematiku uzmem kao da čini stvarnost, jer će mi onda na određenim poljima, stvarnost jednostavno proturječiti. Takva proturječnost je ona o kojoj sam govorio, gdje ulaze brojevi koji nisu djeljivi bez ostatka, kod proučavanja nebeskih pojava.